Решить вариант номер 23, примеры 1,4,5

Решите задачу:

$1)\; \; x+y'(y+xy)=0\\\\\frac{dy}{dx}\cdot y\cdot (1+x)=-x\\\\ y\cdot dy=\frac{-x\, dx}{x+1} \\\\\int y\, dy=- \int \frac{(x+1)-1}{x+1}dx\\\\ \int y\, dy=-\int (1-\frac{1}{x+1})dx\\\\ \frac{y^2}{2}=-(x-ln|x+1|)+C\\\\\frac{y^2}{2}=ln|x+1|-x+C\\\\\star \; \; \int \frac{dx}{ax+b}=\frac{1}{a}\cdot ln|ax+b|+C\; \; \star$

$4)\; \; (xy^2+x)dx+(y-x^2y)dy=0\\\\x(y^2+1)dx=-y(1-x^2)dy\\\\ \int \frac{x\, dx}{1-x^2} =- \int \frac{y\, dy}{y^2+1} \\\\-\frac{1}{2}\int \frac{-2x\, dx}{1-x^2} =-\frac{1}{2}\int \frac{2y\, dy}{y^2+1}\; ,\\\\\star u=1-x^2\; ,du=-2x\, dx,\; v=y^2+1,dv=2y\, dy\; \star\\\\-\frac{1}{2}\int \frac{du}{u}=- \frac{1}{2} \int \frac{dv}{v} \\\\ln|u|=ln|v|+ln|C|\\\\u=Cv\\\\1-x^2=C(y^2+1)$

$5)\; \; y'= \frac{x\cdot sinx}{y\cdot cosy} \\\\ \frac{dy}{dx} = \frac{x\cdot sinx}{y\cdot cosy} \\\\ \int y\cdot cosy\, dy=\int x\cdot sinx\, dx\\\\\int y\cdot cosy\, dy=[\, u=y,\; du=dy,\; dv=cosy\, dy,\; v=siny\, ]=\\\\=y\cdot siny-\int siny\, dy=y\cdot siny+cosy+C_1\\\\\int x\cdot sinx\, dx=[\, u=x,\; du=dx,\; dv=sinx\, dx,\; v=-cosx\, ]=\\\\=-x\cdot cosx+\int cosx\, dx=-x\cdot cosx+sinx+C_2\\\\\\y\cdot siny+cosy=-x\cdot cosx+sinx+C\; \; -\; \; otvet$