В прямоугольную трапецию вписана окружность, точкой касания делящая большее основание **...

Question

В прямоугольную трапецию вписана окружность, точкой касания делящая большее основание на отрезки 3 см и 9 см. Найти площадь трапеции.

Answer 1

Чертеж к задаче во вложении.
Наша цель - найти 
По свойству отрезков касательных из одной точки к окружности получим равенства: АЕ=АМ=ВМ=ВТ=3, ДЕ=ДК=9, СТ=СК
Т.к. окружность вписанная, то СО и ДО -биссектрисы углов. Как известно, они пересекаются под прямым углом.
Из прямоугольного ∆ДОC по свойству высоты, проведенной к гипотенузе:
CK=\frac{OK^2}{KD}=\frac{9}{9}=1\\\\ BC=3+1=4\\\\ S=\frac{4+12}{2}*6=48" alt="OK^2=CK*KD => CK=\frac{OK^2}{KD}=\frac{9}{9}=1\\\\ BC=3+1=4\\\\ S=\frac{4+12}{2}*6=48" align="absmiddle" class="latex-formula">

Comments

Спасибо вам большое! Писала вступительный по математике, запуталась в решении, но ответ, значит, всё равно верный!)) Не знала точно, как доказать, что меньшее основание 4, хотя была в этом почти уверена =) Фух, высший балл - я думала, подсуживали %) Ещё раз спасибо, что разжевали, как правильно доказать =)

Answer 2

Так как касательные проведенные с одной точки равны , то  есть  AM=AL ; BZ=Bl итд
то AM=3 по условия, а так как радиус у нас равные то BL=3, следовательно BZ=3, и того AB=3+3=6; По теореме радиус окружности равен  среднему геометрическому между отрезками которое точка касания делит боковую сторону , то есть r=√CN*ND
r=3, так как Высота ||AB а радиус равен половине высоте =6/2=3
3=√CN*9
CN=1
то есть меньшее основание равна 1+3=4
Площадь равна произведению оснований S=12*4=48