Пожалуйста объясните вот это: Текст из учебника: Решим неравенство Решение. Область...

0 голосов
52 просмотров

Пожалуйста объясните вот это:
Текст из учебника:
Решим неравенство \sqrt{x-1}\ \textless \ 3-x
Решение. Область допустимых значений переменной определяется из условия x-1≥0 (Это мне понятно, т.к. в четной степени корень есть число неотрицательное). <<< Но по смыслу данного неравенство должно выполняться и условие 3-x>0, поскольку левая его часть - арифметический корень. >>> При этих условиях обе части неравенства неотрицательны, поэтому можно использовать метод возведения в квадрат. Если обе части исходного неравенства возвести в кадрат, то, учитывая указанные выше условия, получим следующую систему неравенств:
\left \{ {{x-1 \geq 0\ \textgreater \ } \atop {3-x\ \textgreater \ 0; \quad (x-1)\ \textless \ (3-x)^2}} \right.
или
\left \{ {x \geq 1} \atop {x\ \textless \ 3; \quad (x-2)(x-5)\ \textgreater \ 0}} \right.


Многое тут ясно вроде. Только вот это не получается нормально понять:
Но по смыслу данного неравенство должно выполняться и условие 3-x>0, поскольку левая его часть - арифметический корень.
Почему 3-x < БОЛЬШЕ 0? Не буду расписывать свои размышления, они есть) Но не могу привести их к ясному и точному умозаключению.

Алгебра (787 баллов) | 52 просмотров
Дан 1 ответ
0 голосов
Правильный ответ

Вы правильно расуждаете.
Иррациопальное неравенство   \sqrt[2k]{f(x)}<g(x)   равносильно системе неравенств:
             \left\{\begin{array}{c}f(x) \geq 0\\g(x)\ \textgreater \ 0\\f(x)\ \textless \ (g(x))^{2k}\end{array}\right 

Так как сам корень чётной степени принимает неотрицательные значения (положительные значения и ноль), то больше него может быть только положительное значение, поэтому выражение справа строго положительно. 
 
\sqrt{x-1}\ \textless \ 3-x\; \; \Leftrightarrow \; \; \left\{\begin{array}{c}x-1 \geq 0\\3-x\ \textgreater \ 0\\x-1\ \textgreater \ (3-x)^2\end{array}\right\\\\\\ \left\{\begin{array}{c}x \geq 1\\x\ \textless \ 3\\x-1\ \textless \ 9-6x+x^2\end{array}\right\; \; \left\{\begin{array}{c}x \geq 1\\x\ \textless \ 3\\x^2-7x+10\ \textgreater \ 0\end{array}\right\; \; \left\{\begin{array}{cc}1 \leq x\ \textless \ 3\\(x-2)(x-5)\ \textgreater \ 0\end{array}\right. \\\\\\ \left\{\begin{array}{cc}x\in [\, 1,3)\\x\in (-\infty ,2)\cup (5,+\infty )\end{array}\right\; \; \Rightarrow \quad x\in [\, 1,2)

(835k баллов)
0

А если нестрогое неравенство, допустим: √(x-1) ≤ 3-x, то каким будет система? (ОДЗ). x-1≥0, 3-x≥0 (теперь больше или равно справа?) ? ...Может можно решать иррациональные неравенства как иррациональные уравнения? Устанавливать ОДЗ, решать как уравнение, в итоге указать отрезок принадлежности x. А то всё это с иррациональным неравенством запутывает

оставил комментарий (787 баллов)
0

...прошу прощения за свою тупость, по её вине и вопросы не те и неправильные задаю. Вроде приходит "понимание очевидного"(пусть и со скоростью улитки). Вы же написали: "Так как сам корень чётной степени принимает неотрицательные значения (положительные значения и ноль), то больше него может быть только положительное значение, поэтому выражение справа строго положительно."

оставил комментарий (787 баллов)
0

Значит исходим из того, что минимальное значение слева может быть 0, (а равенство в данном случае строгое), поэтому выражение справа обязательно должно быть БОЛЬШЕ минимального значения слева?

оставил комментарий (787 баллов)
0

Да, правильно. Если задано неравенство со строгим знаком, то выражение справа строго больше 0 . А если исходное неравенство было нестрогим, то справа выражение будет больше или равно нулю.

оставил комментарий (835k баллов)
Похожие задачи