Вычислить (√3-i)^9 По подробнее, пожалуйста

$Z= \sqrt{3} -j$
$Z^9=?$

Переводим комлексное число в показательную форму.
$Z=|Z|e^{i \phi}$

Модуль
$|Z|= \sqrt{( \sqrt{3} )^2+(-1)^2}= \sqrt{3+1} = \sqrt{4} =2$

Аргумент
$\phi=arctg( \frac{Im(Z)}{Re(Z)} )=arctg( \frac{-1}{ \sqrt{3} } )= -\frac{ \pi }{6} =-30^{o}$
Ну теперь возводим в степень
$Z^9=(|Z|e^{j \phi})^9=|Z|^9 \cdot e^{j \cdot 9 \phi}=2^9 e^{-j \cdot 9 \cdot \frac{ \pi }{6} }=512e^{-j \cdot \frac{ 3\pi }{2} }$

Если нужен ответ в алгебраической форме, можно поступить так
$Y=|Y|e^{j \phi}=|Y|\cdot cos (\phi)+j|Y|\cdot sin(\phi)$
Тут, и тригонометрическая форма "рядом лежит".
$Y=512e^{-j 3\pi /2}=512\cdot cos (-3\pi/2)+j\cdot512\cdot sin(-3\pi/2)=0+j512= \\ =512j$