62.3 (1) Координаты вектора равны разности соответствующих координат точек его конца и начала ab{х2-х1;y2-y1}.
Модуль или длина вектора: |a|=√(x²+y²).
cosα=(x1*x2+y1*y2)/[√(x1²+y1²)*√(x2²+y2²)].
В нашем случае:
Вектор АВ(-3-(-5);3-0) или AB(2;3) |AB|=√(2²+3²)=√13.
Вектор ВC(2-(-3);3-3) или BC(5;0) |BC|=√(5²+(0)²)=5.
Вектор CD(4-2;0-3) или CD(2;-3) |CD|=√(2²+(-3)²))=√13.
Вектор AD(4-(-5));0-0) или AD(9;0) |AD|=√(9²+0²))=9
У четырехугольника АВСД стороны ВС и AD параллельны (так как эти стороны имеют координату Y=0, то есть они параллельны оси Х).
Найдем косинусы углов BAD и CDA.
Это углы между векторами АВ и АD и векторами CD и DA.
cosα=(Xab*Xad+Yab*Yad)/[√(Xab²+Yab²)*√(Xad²+Yad²)].
Или cos(BAD)=(2*9+3*0)/(9√13)=18/9√13=2/√13.
cosβ=(Xcd*Xda+Ycd*Yda)/[√(Xcd²+Ycd²)*√(Xda²+Yda²)].
Или cos(CDA)=(2*9+(-3)*0)/(9√13)=18/9√13=2/√13.
Мы видим, что углы BAD и CDA равны и трапеция равнобедренная.
62.5 (2). Пусть медиана, проведенная из вершины А - это отрезок АМ.
Координатный метод:
Пусть начало координат будет в точке А. Сторона АС лежит на оси ОХ.
Имеем точки А(0;0), В(АВ*Sin30°;AB*Sin60°) или В(2;4*√3/2=2√3) и
С(6;0).
Тогда координаты точки М((Xc+Xb)/2;(Yc+Yb)/2) или М(4;√3).
Модуль (длина) вектора АМ: |AM|=√[(Xm-Xa)²+(Ym-Ya)²] или
|AM|=√(4²+(√3)²] =√19.
А можно и так: По теореме косинусов найдем сторону ВС.
ВС=√(AB²+AC²-2AB*AC*Cosα) или ВС=√(52-24)=√28=2√7.
Половина ВС равна ВМ=√7.
Из треугольника АВС по теореме синусов найдем угол В.
ВС/Sin60=AC/SinB, отсюда SinB=(6*√3)/(4√7) или SinB=3√3/(2√7).
Тогда CosB=√(1-27/28)=√(1/28)=1/(2√7).
И из треугольника АВМ по теореме косинусов имеем:
АМ=√(AB²+ВМ²-2AB*ВМ*CosВ) или АМ=√(16+7-8*√7*1/(2√7)))=√(23-4)=√19.
Ответ: АМ = √19.
Есть формула медианы:
АМ=(1/2)*√(AB²+AC²+2AB*AC*Cosα), где α - угол между этими сторонами.
В нашем случае: АМ=(1/2)*√(4²+6²+48*0,5) или АМ=√76/2=√19.
Ответ: АМ = √19.