Все просто
Допустим противное: \sqrt{2} рационален, то есть представляется в виде несократимой дроби \frac{m}{n}, где m - целое число, а n — натуральное число. Возведём предполагаемое равенство в квадрат:\sqrt{2} = \frac{m}{n} \Rightarrow 2 = \frac{m^2}{n^2} \Rightarrow m^2 = 2n^2.Отсюда следует, что m^2 чётно, значит, чётно и m. Пускай m=2r, где r целое. Тогда(2r)^2=2n^2 \Rightarrow n^2=2r^2Следовательно, n^2 чётно, значит, чётно и n. Мы получили, что m и n чётны, что противоречит несократимости дроби \frac{m}{n}. Значит, исходное предположение было неверным, и \sqrt{2} — иррациональное число.