Прошу помогите решить 1 и 2 найти частные производны 3 пример показать что функция...

Question 1

Прошу помогите решить
1 и 2 найти частные производны
3 пример показать что функция удовлетворяет уравнению

Question 2

1. Находя частную производную по х, предполагаем, что у - константа.
$z=\arccos \sqrt{x^2+y^2} \\\ \dfrac{\partial z}{\partial x} =- \dfrac{1}{ \sqrt{1-(\sqrt{x^2+y^2})^2} } \cdot(\sqrt{x^2+y^2})'_x= \\\ =- \dfrac{1}{ \sqrt{1-(x^2+y^2)} } \cdot \dfrac{1}{2\sqrt{x^2+y^2}} \cdot (x^2+y^2)'_x \\\ =- \dfrac{1}{ \sqrt{1-x^2-y^2} } \cdot \dfrac{1}{2\sqrt{x^2+y^2}} \cdot 2x= - \dfrac{x}{ \sqrt{1-x^2-y^2} \sqrt{x^2+y^2}}$

2. Находя частную производную по у, предполагаем, что х - константа.
$z=\cos\ln \frac{x}{y} \\\ \dfrac{\partial z}{\partial y} =-\sin\ln \dfrac{x}{y} \cdot (\ln \dfrac{x}{y} )'_y= -\sin\ln \dfrac{x}{y} \cdot \dfrac{y}{x} \cdot (\dfrac{x}{y} )'_y= \\\ -\sin\ln \dfrac{x}{y} \cdot \dfrac{y}{x} \cdot (-\dfrac{x}{y^2} )= \dfrac{1}{y}\sin\ln \dfrac{x}{y}$

3. Находим частные производные и подставляем их в предложенное соотношение.
$z=xe^{- \frac{y}{x} } \\\ \dfrac{\partial z}{\partial x} =x'_x\cdot e^{- \frac{y}{x} }+x\cdot (e^{- \frac{y}{x} })'_x= e^{- \frac{y}{x} }+x\cdot e^{- \frac{y}{x} } \cdot(- \frac{y}{x})'_x= \\\ =e^{- \frac{y}{x} }+x\cdot e^{- \frac{y}{x} } \cdot \frac{y}{x^2}= e^{- \frac{y}{x} }+\frac{y}{x} e^{- \frac{y}{x} } =(1+\frac{y}{x}) e^{- \frac{y}{x} }$
$\dfrac{\partial z}{\partial y} =x\cdot(e^{- \frac{y}{x} })'_y= x\cdot e^{- \frac{y}{x} }\cdot (- \frac{y}{x} )'_y= x\cdot e^{- \frac{y}{x} }\cdot (- \frac{1}{x}) =-e^{- \frac{y}{x} }$
$\dfrac{\partial^2z}{\partial x \partial y}= \dfrac{\partial \frac{\partial z}{\partial y}}{ \partial x}= (-e^{- \frac{y}{x} })'_x=-e^{- \frac{y}{x} }\cdot (- \frac{y}{x})'_x= -e^{- \frac{y}{x} }\cdot \frac{y}{x^2}=- \frac{y}{x^2}e^{- \frac{y}{x} }$
$\dfrac{\partial^2z}{ \partial y^2}= \dfrac{\partial \frac{\partial z}{\partial y}}{ \partial y}= (-e^{- \frac{y}{x} })'_y=-e^{- \frac{y}{x} }\cdot (- \frac{y}{x})'_y= -e^{- \frac{y}{x} }\cdot (-\frac{1}{x})= \frac{1}{x}e^{- \frac{y}{x} }$
Проверяем равенство:
$x\cdot \dfrac{\partial^2z}{ \partial x\partial y}+2( \frac{\partial z}{\partial x} +\frac{\partial z}{\partial y} )=y\cdot \dfrac{\partial^2z}{ \partial y^2} \\\ x\cdot (-\frac{y}{x^2}\cdot e^{- \frac{y}{x} })+2((1+\frac{y}{x}) e^{- \frac{y}{x} } +(-e^{- \frac{y}{x} }) )=y\cdot \frac{1}{x}e^{- \frac{y}{x} }$
Сокращаем на е в степени:
$x\cdot (-\frac{y}{x^2})+2((1+\frac{y}{x}) +(-1) )=y\cdot \frac{1}{x} \\\ -\frac{y}{x}+2(1+\frac{y}{x} -1 )=y\cdot \frac{1}{x} \\\ -\frac{y}{x}+2\cdot\frac{y}{x}=\frac{y}{x} \\\ \frac{y}{x}=\frac{y}{x}$
Верное равенство.

Artem112_zn · Answer 1 · 2018-05-07T22:54:51+0000

1. Находя частную производную по х, предполагаем, что у - константа.
$z=\arccos \sqrt{x^2+y^2} \\\ \dfrac{\partial z}{\partial x} =- \dfrac{1}{ \sqrt{1-(\sqrt{x^2+y^2})^2} } \cdot(\sqrt{x^2+y^2})'_x= \\\ =- \dfrac{1}{ \sqrt{1-(x^2+y^2)} } \cdot \dfrac{1}{2\sqrt{x^2+y^2}} \cdot (x^2+y^2)'_x \\\ =- \dfrac{1}{ \sqrt{1-x^2-y^2} } \cdot \dfrac{1}{2\sqrt{x^2+y^2}} \cdot 2x= - \dfrac{x}{ \sqrt{1-x^2-y^2} \sqrt{x^2+y^2}}$

2. Находя частную производную по у, предполагаем, что х - константа.
$z=\cos\ln \frac{x}{y} \\\ \dfrac{\partial z}{\partial y} =-\sin\ln \dfrac{x}{y} \cdot (\ln \dfrac{x}{y} )'_y= -\sin\ln \dfrac{x}{y} \cdot \dfrac{y}{x} \cdot (\dfrac{x}{y} )'_y= \\\ -\sin\ln \dfrac{x}{y} \cdot \dfrac{y}{x} \cdot (-\dfrac{x}{y^2} )= \dfrac{1}{y}\sin\ln \dfrac{x}{y}$

3. Находим частные производные и подставляем их в предложенное соотношение.
$z=xe^{- \frac{y}{x} } \\\ \dfrac{\partial z}{\partial x} =x'_x\cdot e^{- \frac{y}{x} }+x\cdot (e^{- \frac{y}{x} })'_x= e^{- \frac{y}{x} }+x\cdot e^{- \frac{y}{x} } \cdot(- \frac{y}{x})'_x= \\\ =e^{- \frac{y}{x} }+x\cdot e^{- \frac{y}{x} } \cdot \frac{y}{x^2}= e^{- \frac{y}{x} }+\frac{y}{x} e^{- \frac{y}{x} } =(1+\frac{y}{x}) e^{- \frac{y}{x} }$
$\dfrac{\partial z}{\partial y} =x\cdot(e^{- \frac{y}{x} })'_y= x\cdot e^{- \frac{y}{x} }\cdot (- \frac{y}{x} )'_y= x\cdot e^{- \frac{y}{x} }\cdot (- \frac{1}{x}) =-e^{- \frac{y}{x} }$
$\dfrac{\partial^2z}{\partial x \partial y}= \dfrac{\partial \frac{\partial z}{\partial y}}{ \partial x}= (-e^{- \frac{y}{x} })'_x=-e^{- \frac{y}{x} }\cdot (- \frac{y}{x})'_x= -e^{- \frac{y}{x} }\cdot \frac{y}{x^2}=- \frac{y}{x^2}e^{- \frac{y}{x} }$
$\dfrac{\partial^2z}{ \partial y^2}= \dfrac{\partial \frac{\partial z}{\partial y}}{ \partial y}= (-e^{- \frac{y}{x} })'_y=-e^{- \frac{y}{x} }\cdot (- \frac{y}{x})'_y= -e^{- \frac{y}{x} }\cdot (-\frac{1}{x})= \frac{1}{x}e^{- \frac{y}{x} }$
Проверяем равенство:
$x\cdot \dfrac{\partial^2z}{ \partial x\partial y}+2( \frac{\partial z}{\partial x} +\frac{\partial z}{\partial y} )=y\cdot \dfrac{\partial^2z}{ \partial y^2} \\\ x\cdot (-\frac{y}{x^2}\cdot e^{- \frac{y}{x} })+2((1+\frac{y}{x}) e^{- \frac{y}{x} } +(-e^{- \frac{y}{x} }) )=y\cdot \frac{1}{x}e^{- \frac{y}{x} }$
Сокращаем на е в степени:
$x\cdot (-\frac{y}{x^2})+2((1+\frac{y}{x}) +(-1) )=y\cdot \frac{1}{x} \\\ -\frac{y}{x}+2(1+\frac{y}{x} -1 )=y\cdot \frac{1}{x} \\\ -\frac{y}{x}+2\cdot\frac{y}{x}=\frac{y}{x} \\\ \frac{y}{x}=\frac{y}{x}$
Верное равенство.