В параллелограмме АВСD проведены перпендикуляры ВЕ и DF к диагонали АС (см. рисунок). Докажите, что BFDE - параллелограмм.
–––––––
Рассмотрим ⊿ АВЕ и ⊿ CFD.
Они прямоугольные, имеют по равному острому углу (∠ВАЕ=∠FCD - накрестлежащие при параллельных АВ и СD и секущей АС) и равные гипотенузы АВ=CD, т.к. противоположные стороны параллелограмма равны.
Следовательно, ⊿ АВЕ = ⊿ CFD⇒
ВЕ=DF
В ⊿ BEF и ⊿ DFE катеты ВЕ=DF, катет ЕF - общий, следовательно, они равны.
В четырехугольнике ВЕDF противоположные стороны равны - это признак параллелограмма.
Четырехугольник ВЕDF - параллелограмм, ч.т.д.