На основании AD трапеции ABCD отмечена точка F. Оказалось, что AB=BF и FC=CD. Радиусы окружностей, вписанных в треугольники ABF, FCD, BFC равны 3, 5 и 4 соответственно. Найдите отношение AF:FD. Пожалуйста!
Введем обозначения: H - высота трапеции и всех трех треугольников; остальные - по рисунку. Площади этих треугольников запишем двумя способами, как половина произведения основания на высоту и как произведение полупериметра на радиус вписанной окружности: S (ABF) = 1/2 2a H = aH = 3(a+c) S (FCD) = 1/2 2b H = bH = 5(b+d) S (BFC) = 1/2 (a+b)H = 1/2(a+b+c+d)*4 aH = 3a + 3c (1) это система bH = 5b + 5d (2) 1/2(a+b)H = 2a + 2b + 2c + 2d (3) из первого: a + c = aH/3 из второго: b + d = bH/5 Подставим в третье: 1/2 (a+b)H = 2*aH/3 + 2*bH/5 Разделим на Н и умножим на 2: a + b = 4a/3 + 4b/5 b - 4b/5 = 4a/3 - a b/5 = a/3 a/b = 3/5, значит и AF:FD = 3/5