Dy/dx+y/x=1/(1-x^2). Подскажите, пожалуйста, как решить?

Question

Дано ответов: 2

DRVal_zn · Answer 1 · 2018-03-12T08:31:38+0000

(y(x))/x+( dy(x))/( dx) = 1/(1-x^2):
Перепишем в таком виде:
( dy(x))/( dx)+(y(x))/x = -1/(x^2-1)
Положим mu(x) = e^( integral 1/x dx) = x.
Умножим обе части на mu(x):
x ( dy(x))/( dx)+y(x) = -x/(x^2-1)
заменим 1 = ( d)/( dx)(x):
x ( dy(x))/( dx)+( d)/( dx)(x) y(x) = -x/(x^2-1)
Применим g ( df)/( dx)+f ( dg)/( dx) = ( d)/( dx)(f g) к левой части:
( d)/( dx)(x y(x)) = -x/(x^2-1)
Проинтегрируем обе части по x:
integral ( d)/( dx)(x y(x)) dx = integral -x/(x^2-1) dx
Получаем:
x y(x) = -1/2 log(x^2-1)+c_1, где c_1 произвольная константа.
Разделим обе части на mu(x) = x:
Ответ: | | y(x) = (-1/2 log(x^2-1)+c_1)/x

PhysM_zn · Answer 2 · 2018-03-12T08:31:38+0000

$\cfrac{dy}{dx}+\cfrac{y}{x}=\cfrac{1}{1-x^2}$
Заметим, что это Линейное Дифференциальное Уравнение первого порядка(ЛДУ1),
запишем в общем виде:
$\cfrac{dy}{dx}+a(x)y=b(x)\\a(x)=\cfrac{1}{x}\\b(x)=\cfrac{1}{1-x^2}$
То есть y и y' присутствуют линейно.
Решаем ЛДУ1 методом вариации произвольной постоянной:
Считаем, что b(x)=0, тогда получаем:
$y'+a(x)y=0\\\cfrac{dy}{dx}+a(x)y=0\\\cfrac{dy}{y}=-a(x)dx\\\ln y=-\int a(x)dx+\ln c\\y=ce^{-\int a(x)dx}=ce^{-\int\frac{1}{x}dx}=ce^{\ln x}$
Получили решение однородного уравнения
Пусть c=c(x), тогда общее неоднородное решение будет равно:
$y=c(x)e^{-\int a(x)dx}$
Подставляем в исходное уравнение и решаем:
$y=ce^{-\int a(x)dx}=ce^{-\int\frac{1}{x}dx}=ce^{\ln x}\\y=c(x)e^{-\int a(x)dx}\\c'(x)e^{-\int a(x)dx}+c(x)e^{-\int a(x)dx}\cdot (-a(x))+a(x)c(x)e^{-\int a(x)dx}=b(x)\\c'(x)=b(x)e^{\int a(x)dx}\\c(x)=\int b(x)e^{\int a(x)dx}+C_1\\y=c(x)e^{-\int a(x)dx}=\left[\int b(x)e^{\int a(x)dx}dx+C_1\right]e^{-\int a(x)dx$
Осталось посчитать:
$y=c(x)e^{-\int a(x)dx}=\left[\int b(x)e^{\int a(x)dx}dx+C_1\right]e^{-\int a(x)dx\\y}=\\=\left[\int\cfrac{1}{1-x^2}e^{\ln x}+C_1\right]e^{\ln x}=\left[\int\cfrac{x}{1-x^2}+C_1\right]x=\\=\left[-\cfrac{1}{2}\ln (1-x^2)+C_1\right]x$
Получили решение, ЛДУ1