Решите пожалуйста 1 и 2

Question

Дан 1 ответ

Minsk00_zn · Answer 1 · 2018-05-07T19:38:05+0000

Вычислить сумму 0,(1)+1,(2)=2,(3)+....+98,(99)

Решение:
Запишем данную сумму в виде обычных дробей
$0,(1)+1,(2)+2,(3)+....+98,(99)= \frac{1}{9}+1 \frac{2}{9}+2 \frac{3}{9}+...+98 \frac{99}{99}$
Целые части дробей представляют собой арифметическую прогрессию с $a_1=1, d=1, a_{98}=98, n=98$
Сумма арифметической прогрессии вычислим по формуле
$S= \frac{(a_1+a_n)*n}{2}= \frac{(1+98)*98}{2}= 4851$
Остальную часть простых дробей представим в виде суммы двух дробей с знаменателями равными 9 и 99.
$\frac{1}{9}+1 \frac{2}{9}+2 \frac{3}{9}+...+98 \frac{99}{99} = \frac{1+2+...9}{9}+ \frac{10+...99}{99}$
Числитель первой и второй дроби представляет собой сумму арифметической прогрессии.
Для первой дроби с знаменателем равным 9 арифметическая прогрессия: $a_1=1, d=1, a_{9}=9, n=9$
Сумма арифметической прогрессии равна
$S= \frac{(a_1+a_n)*n}{2}= \frac{(1+9)*9}{2}= 45$
Для второй дроби с знаменателем равным 99 арифметическая прогрессия: $a_1=10, d=1, a_{90}=99, n=90$
Сумма арифметической прогрессии равна
$S= \frac{(a_1+a_n)*n}{2}= \frac{(10+99)*90}{2}= 4905$
Подставляем полученные результаты
$\frac{1+2+...9}{9}+ \frac{10+...99}{99} = \frac{45}{9}+ \frac{4905}{99}=5+49 \frac{54}{99}=54,(54)$
Добавим сумму целой части
0,(1)+1,(2)+2,(3)+....+98,(99) =4851+54,(54)=4905,(54)