Пусть M — точка пересечения диагоналей AC и BD параллелограмма ABCD, O — произвольная...

Question

Пусть M — точка пересечения диагоналей AC и BD параллелограмма ABCD, O — произвольная точка. Докажите, что вектор OM =1/4(OA + OB + OC+OD), понятно что OA, OB, OC и OD вектора)

Answer 1

По свойствам диагоналей параллелограмма AM = MC и DM = MB.

1) В ▲AOC: OM - медиана. На продолжении медианы OM поставим точку K так, чтобы OM = MK.
Значит в четырехугольнике OAKC диагонали AC и OK пересекаются в точке O и ею делятся пополам. Поэтому OAKC - параллелограмм.

Аналогично OBKD  - параллелограмм.

2) за правилом "параллелограмма" сложения векторов,
векторы: OA + OC = 2·OM, а также OB + OD = 2·OM
Значит, OA + OC + OB + OD = 4·OM
Имеем: OM = ¼·(OA + OC + OB + OD)

Доказано.