Зимнего окончание его, задаешь вопрос какого, окончание ого, следовательно, и здесь тоже будет окончание его
жизнью корень слова жизнь, пр.слово жизнь - это существительное женского рода, единственного числа, творительного падежа, 3 склонения, следовательно, нужен мягкий знак.