Занемог однокоренное проверочное слово с проверочной согласной в корне: могу.
По произношению проверочного слова становится понятно, что в корне слова "занемог" пишется буква "г", а не "х", как слышится. В приставке после согласной "з" пишется буква "а", так как приставки "зо" в русском языке не существует. Во второй приставке после согласной "н" пишется буква "е", так как в этом случае приставке употреблена в значении отрицания.