Перший спосіб
методом мат. індукції
база індукції: при n=1 твердження вірне
так як 
кратне 3
гіпотеза індукції: Нехай при n=k твердження вірне
тобто справделиво що 
кратне 3
індцукційний перехід. Доведемо тепер що при n=k+1твердження також вірне
кратне 3, там як перший доданок кратний 3 (перший множник добутку 9 кратний 3), другий кратний у силу припущення індукції.
За приниципом мат.ідукції твердження є вірним.
====================================
другий спосіб
так як число 
=10000....0 (одна одиниця, n нулів, причому нуль остання цифра),то
число 
=10000...0002(одна одиниця, n-1 нуль, одна 2)
сума цифр числа 1+0+0+0+...+0+2=3 а отже за ознакою подільності на 3, дане число кратне 3при будьякому натуральному n
===========
третій спосіб
через залишки від ділення
так як 10 при діленні на 3 дає залишок 1,
то і 10 у степені n=10*10*10*...*10 (n раз) дасть залишок, який дає число 1*1*1*.....*1 (n раз)=1, тобто 1 (1 при діленні на 3дає залишок 1)
а значить число дасть залишок такий же як дасть залишок від ділення суми залишків чисел 1 + 2 =3 , залишок 0 (так як 3 кратне 3), а значить задане число кратне 3
доведено
===========
четвертий спосіб (можна вивести формулу
10^1+2=12=3*4
10^2+2=102=3*34
100^3+2=3*334
....
=3*3333...34 (n-1 трійка і 1 четвірка)
або
пятий спосіб
так як [tex]10^n+2=999..99(n-1 раз) +1+2=9*111...1(n-1) раз+3