Μ ≈ 4 г/моль ;
T1 ≈ 450 K ;
P1 ≈ 1.7 мПа ;
V1 ≈ 2 л ;
a = 2 ; V2 = aV1 ;
b = 1.6 ; V3 = bV2 = abV1 ;
1.
n = N/V ;
N = nV ;
P = nkT ;
n = p/[kT] ;
N = PV/[kT] ≈ [17/10 000 ] * [2/1000] / [ 1.38*10^(-23) * 450 ] ≈ 340*10^15 /[69*9] ≈ 548*10^12 ≈ 550 триллионов ;
2.
В исходном состоянии (1)
Vмод1 = √[2RT1/μ] ≈ 1368 м/с ;
1 = √[(8/π)RT1/μ] ≈ 1543 м/с ;
√1 = √[3RT1/μ] ≈ 1675 м/с ;
После изотремического процесса в состоянии (2) у газа точно такая же теммпература, как и в (1), в силу природы изотермического процесса
Уравнение адиабаты: T^Cv V = const ;
T³ V² = const ;
T3³ V3² = T2³ V2² ;
T3³ (bV2)² = T1³ V2² ;
T3³ = T1³/b² ;
T3 = T1/ ³√b² ;
В состоянии (3) после адиабатического расширения без теплоподведения и потери внутренней энергии:
Vмод3 = √[2RT3/μ] = √[2RT1/μ] / ³√b = Vмод1 / ³√1.6 ≈ 1169 м/с ;
3 = √[(8/π)RT1/μ] / ³√b = 1 / ³√1.6 ≈ 1320 м/с ;
√3 = √[3RT1/μ] / ³√b = √1 / ³√1.6 ≈ 1432 м/с ;
3.
В исходном состоянии (1) и состоянии (2) энергия теплового движения молекул газа одинаковая и равна:
U12 = Cv ν T1 = [3/2] ν R T1 = [3/2] P1 V1 = [3/2]*[ 17 / 10 000 ]*[2/1000] ≈ 51/10 000 000 = 5.1 мкДж ;
Уравнение адиабаты: P^Cv V^Cp = const ;
(PV)^Cv V = const ;
( P3 V3 )^Cv V3 = ( P2 V2 )^Cv V2 ;
( P3 V3 )^Cv = ( P1 V1 )^Cv V2 / V3 ;
P3 V3 = ( P1 V1 )(V2/V3)^[1/Cv] ;
P3 V3 = P1 V1 / b^[1/Cv] ;
В состоянии (3) и состоянии (4) энергия теплового движения молекул газа одинаковая и равна:
U34 = Cv ν T = [3/2] ν R T3 = [3/2] P3 V3 = [3/2] P1 V1 / b^[1/Cv] ;
U34 = [3/2] P1 V1 / b^[1/Cv] = [3/2]*[ 17 / 10 000 ]*[2/1000] / ³√1.6² = [ 5.1 / ³√1.6² ] / 1 000 000 ≈ 3.73 мкДж ;
4.
Eк(пост)1 = [3/2]kT ≈ [3/2] * 1.38 * 10^[–23] * 450 ≈ 9.315 * 10^[–21] Дж
( 9 / секстилионных )
5.
Cv = [3/2] R ≈ [3/2] 8.315 ≈ 12.47 Дж/°моль ;
Cp = Cv + R = [3/2] R + R = [5/2] R ≈ [5/2] 8.315 ≈ 20.79 Дж/°моль ;
6.
Давление в состоянии (2) найти совсем несложно, используя уравнение изотермы:
PV = const ;
P2 V2 = P1 V1 ;
P2 = P1 V1/V2 = P1/a ≈ 1.7 мПа / 2 ≈ 0.85 мПа ≈ 850 мкПа ;
Температура в состоянии (2) такая же, как и в состоянии (1), в силу природы изотермического процесса
T2 = T1 = 450 К ;
V2 = aV1 = 2 * 2 л = 4 л ;
Для нахождения давления в состоянии (3) используем уравнение адиабаты:
P^Cv V^Cp = const ;
(PV)^Cv V = const ;
PV*V^[1/Cv] = const ;
( P3 V3 ) V3^[1/Cv] = ( P2 V2 ) V2^[1/Cv] ;
P3 V3 = ( P1 V1 ) (V2/V3)^[1/Cv] ;
P3 = ( P1 V1/V3 ) (V2/V3)^[1/Cv] ;
P3 = P1/(ab^[Cp/Cv]) ≈ [ 17 / 10 000 ]/( 2 * 1.6 * ³√1.6² ) ≈ 0.388 мПа ≈ 388 мкПа ;
Для нахождения температуры в состоянии (3) используем другое представление уравнения адиабаты:
T^Cv V = const ;
T V^[1/Cv] = const ;
T3 V3^[1/Cv] = T2 V2^[1/Cv] ;
T3 = T1 (V2/V3)^[1/Cv] ;
T3 = T1/b^[1/Cv] ;
T3 = T1/b^[1/Cv] ;
T3 = 450 / ³√1.6² ≈ 329 К ;
V3 = abV1 = 3.2 * 2 = 6.4 л ;
Температура в состоянии (4) такая же, как и в состоянии (3), в силу природы изотермического процесса.
T4 = T3 ≈ 329 К ;
Для нахождения объёма в состоянии (4) используем другое представление уравнения адиабаты:
T^Cv V = const ;
T4^Cv V4 = T1^Cv V1 ;
V4 = V1 (T1/T3)^Cv = V1 b = 2 * 1.6 = 3.2 л ;
Для нахождения давления в состоянии (4) используем уравнения изотермы:
PV = const ;
P4 V4 = P3 V3 ;
P4 = P3 V3/V4 = P1/b^[Cp/Cv] ;
P4 = P1/b^[Cp/Cv] ≈ 1.7 мПа / [ 1.6 * ³√1.6² ] ≈ 1.0625 мПа / [ 2 * ³√1.6² ] ≈ 0.777 мПа ≈ 777 мкПа ;
7.
Процесс 1-2 – изотермический, в нём внутренняя энергия не меняется, как и температра, которой она пропорциональна.
∆U12=0 ;
Процесс 2-3 – адиабатный:
∆U23 = [3/2] ∆(PV) = [3/2] ( P3 V3 – P2 V2 ) = [3/2] ( P1/(ab^[1/Cv]) – P1/a ) aV1 = [3/2] ( 1/b^[1/Cv] – 1 ) P1 V1
∆U23 = [3/2] ( 1/b^[1/Cv] – 1 ) P1 V1 ≈ [3/2]*( 1/b^[1/Cv] – 1 )*[ 17 / 10 000 ]*[2/1000] ≈ ( 1 / ³√2.56 – 1 )*[ 5.1 / 1 000 000 ] ≈ –1.37 мкДж ;
Процесс 3-4 – изотермический, в нём внутренняя энергия не меняется, как и температра, которой она пропорциональна.
∆U34=0 ;
Процесс 4-1 – адиабатный, в нём возвращается отнятая в процессе 2-3 энергия:
∆U41 = –∆U23 ≈ 1.37 мкДж ;
Общее изменение внутренней энергии за весь цикл равно нулю, так как он замкнутый, и температура, а значит и внутренняя энергия приходит к своему начальному состоянию, каждый раз, когда замыкается цикл.
∆U = 0 ;
8.
Работа расширения газа с нагреванием в изотермическом процессе 1-2 равна:
A12 = ∫ PdV [V1...V2] ;
PV = P1 V1 ;
P = P1 V1/V ;
A12 = P1 V1 ∫ dV/V [V1...V2] = P1 V1 ln[V2/V1] = P1 V1 ln a ≈ [ 17 / 10 000 ]*[2/1000] ln 2 ≈ 2.35 мкДж ;
Работа газа в адиабатическом процесс 2-3 равна изменению внутренней энергии, взятой с обратным знаком:
A23 = –∆U23 ≈ 1.37 мкДж .
Отрицательная работа сжимаемого с теплоотведением газа в изотермическом процессе 3-4 равна:
A34 = ∫ PdV [V3...V4] ;
PV = P3 V3 ;
P = P3 V3/V ;
A34 = P3 V3 ∫ dV/V [V3...V4] = P3 V3 ln[V4/V3] = – P1 V1 lna / b^[1/Cv] = – [ 17 / 10 000 ]*[2/1000] ln2 / ³√1.6² ≈ –1.72 мкДж .
Работа газа в адиабатическом процесс 4-1 равна изменению внутренней энергии, взятой с обратным знаком:
A41 = –∆U41 ≈ –1.37 мкДж .
Полная работа за весь цикл может быть найдена суммированием работ на каждом процессе:
А = A12 + A23 + A34 + A41 ≈ 2.35 мкДж – 1.72 мкДж ≈ 0.63 мкДж .