Провести полное исследование и построить график указанной функции:

Question

Дан 1 ответ

Правильный ответ

1. Область определения функции:
Знаменатель не равно нулю, т.е. $x\ne 0$
$D(y)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty)$

2. Проверим на четность.
$y(-x)=-x- \frac{8}{(-x)^4} =-(x+ \frac{8}{x^4})\ne y(x)$
Итак, функция ни четная ни нечетная.

3. Не периодическая функция.
4. Точки пересечения с осью Ох и Оу
4.1. С осью Ох(у=0):
$x- \frac{8}{x^4}=0\\ x^5=8\\ x= \sqrt[5]{8}$

4.2. С осью Оу(х=0):
$y=0- \frac{8}{0^4}$
Точки пересечения с осью Оу нет.

5. Критические точки, возрастание и убывание функции:
Производная функции
$y'=(x- \frac{8}{x^4})'=1+ \frac{32}{x^5}$
Приравниваем производную функции к нулю
$1+ \frac{32}{x^5} =0|\cdot x^5\\ x^5=-32\\ x=-2$

___+__(-2)___-___(0)___+___
Функция возрастает на промежутке $(-\infty;-2)$ и $(0;+\infty)$ , а убывает на промежутке $x\in (-2;0)$ . В точке x=-2 - имеет локальный максимум

6. Точка перегиба

$y''=(1+ \frac{32}{x^5} )'=- \frac{160}{x^6}$
очевидно, что нулей во второй производной нет, а значит точке перегиба нет.

Горизонтальных асимптот нет

Вертикальные асимптоты: $x=0$

Наклонные асимптоты: $\lim_{x \to \infty} (x- \frac{8}{x^4} -x)=0$
Тоесть наклонная асимптота $y=x$

Строим график

аноним 03 Май, 18