Стороны AB и CD четырехугольника ABCD, вписанного в окружность радиуса 4 см, параллельны...

Question

Стороны AB и CD четырехугольника ABCD, вписанного в окружность радиуса 4 см, параллельны и имеют равные длины, угол ADB=60 ГРАДУСОВ. А) Найдите AB Б) Определите, какие значения может принимать угол MBC? если M - точка окружности, равноудаленная от концов отрезка BC

Answer 1

В АВСД:  АВ||СД и АВ=СД => АВСД -параллелограмм => угВ=угД, а по свойствам вписанного четырехугольника угВ+угД=180 => угВ=угД=90 => АВСД - прямоугольник, значит угА-90
Рассмотрим треугольник АВД (он также является вписанным в окружность) - он прямоугольный, значит центр описанной окружности лежи есть середина гипотенузы, и гипотенуза равна ВД=2r=8
sinАДБ=АВ/ВД
АВ=ВД*sin60=8*0.866=6.928
Пусть точка О - центр  окружности и пересечение диагоналей
Найду уг МВС (одно из значений)
Рассмотрю равнобедренный ВСМ (ВМ=МС)
ВС=cos60*ВД=4
(Высота МН) 
В треугольнике ВОН
ВН=4/2(т к МН - высота вравнобедренном треугольнике является и медианой)
ВО=r=4
По теореме Пифагора
ОН=корень из(12)=2*корень из(12)
МН=ОН+МО=4+2*корень из(12) 
В треугольнике ВОМ
tgВМС=МН/ВО=(4+2*корень из(12)) /2=2+корень из(3) =3.7321
Значит это угол в 75
Ответ 6.928 ; 75 С