Докажите, что среди любых 11 целых чисел можно найти два, разность которых делится ** 10

Question

Докажите, что среди любых 11 целых чисел можно найти два, разность которых делится на 10

Answer 1

Возьмем для примера 11 целых чисел от 10 до 20 и найдем остаток от деления каждого из них на 10
10/10=1(остаток 0)
11/10=1(остаток 1)
12/10=1(остаток 2)
-------------
19/10=1(остаток 9)
20/10=2(остаток 0)
На этом примере замечаем, что всегда существует 10 возможных остатков (от 0 до 9)
А у нас по условию любые 11 целых чисел, тогда получаем, что хотя бы два из них совпадают, т.е. по крайней мере два из любых 11 целых чисел при делении на 10 дают один и тот же остаток. Тогда разность этих чисел должна будет делиться на 10

Answer 2

Так как дано 11 целых чисел, то по принципу Дирихле есть хотя бы 2 числа a и b, которые делятся на 10 c равными остатками z

a=10m+z

b=10n+z

a-b=(10m+z)-(10n+z)=10m+z-10n-z=10m-10n=10(m-n)

Если в произведение хотя бы один множитель делится на 10, то и все произведение делится на 10.