Я стал с удовольствием посещать музеи и галереи, читать книги.
Я - подлежащее, выражено местоимением.
Стал посещать - сказуемое, выражено глаголом.
Читать - сказуемое, выражено глаголом.
Стал посещать (что?) музеи и галереи ( однородные дополнения).
Читать (что?) книги (дополнение).
(предложение повествовательное, распространенное, простое, осложнено однородными сказуемыми, невосклицательное, двусоставное.)