разность между числом и суммой его цифр всегда делится на 9. Это легко понять хотя бы на примере трехзначных чисел. Если abc = а x 100 + b x 10 + с — трехзначное число, то сумма его цифр равна a + b + с и разность abc – (а + b + с) = 99а + 9b делится на 9.
Пусть А, В, С, … — целые числа, которые нам необходимо сложить, и А1, B1, C1, … — суммы их цифр. Обозначим буквой р остаток от деления на 9 суммы цифр числа
(А + В + С + …). Из сказанного выше следует, что разность (А + В + С + …) – р делится на 9. Но эту же разность можно представить в виде (А – А1) + (В – B1) + (C – C1) + … + (А1 + B1 + C1 + ... – р). Все числа А – А1, В – B1, C – C1, ... делятся на 9, а потому на 9 будет делиться и число А1 + B1 + C1 + ... – р. Это означает, что остаток от деления на 9 числа А1 + B1 + C1 + … также равен р. Итак, если сложение выполнено правильно, то остатки должны совпадать.