В трапеции ABCD диагонали AC и BD взаимно перпендикулярны, а её средняя линия равна 10...

Рисунок к задаче во вложении.

1) Из вершины С трапеции параллельно ВD проведем прямую до пересечения с продолжением АD. Точку пересечения обозначим F.

Так как СF||ВD по построению, а ВС параллельна DF , так как параллельна АD, а DF - продолжение АD, то ВСDF- параллелограмм, значит, ВС= DF.

2) Рассмотрим ∆АВС и ∆СDF. Они имеют равные основания (ВС=DF) и равные высоты (показаны оранжевым цветом), которые равны высоте трапеции. Следовательно, площади ∆АВС и ∆СDF также равны.

3) Площадь трапеции

$S_{ABCD}=S_{ABC}+S_{ACD}=S_{ACD}+S_{CDF}=S_{ACF} \\\ AF=AD+DF=AD+BC=2MN=20$

4) ∆АСF - прямоугольный. По теореме Пифагора

$CF=\sqrt{AF^2-AC^2}=\sqrt{20^2-12^2}=\sqrt{8*32}=8*2=16 \\\ S_{ABCD}=S_{ACF}=\frac{1}{2}AC*AF=0.5*12*16=96$

Ответ: 96 см²