Такая сумма равна 100/101.
Подсказка: дробь вида 1/(n*(n + 1)) раскладывается на простейшие 1/n - 1/(n + 1). Поэтому 1/(1*2) + 1/(2*3) + 1/(3*4) +..+1 /(99*100) + 1/(100*101) = 1 - 1/2 + 1/2 - 1/3 + 1/3 - 1/4 +..+1/99 - 1/100 + 1/100 - 1/101 = 1 - 1/101 = 100/101