Исследовать функцию ** монотонность f(x)=x×e^x

Question

Исследовать функцию на монотонность

f(x)=x×e^x

Answer 1

функция определена на всей действительной оси

 

Ищем производную

 

Ищем критические точки

0;x+1=0;x=-1" alt="f'(x)=0;e^x(x+1)=0;e^x>0;x+1=0;x=-1" align="absmiddle" class="latex-formula">

 

при -1" alt="x>-1" align="absmiddle" class="latex-formula">:0" alt="f'(x)>0" align="absmiddle" class="latex-formula">

при :

значит т. х=-1 - т.локального минимума, при х  є функция убывает

при х  є функция возростает

Answer 2

0\Rightarrow f(x)\nearrow\forall_{x\in(-1,\infty)}\\ \forall_{x\in(-\infty,-1)}f'(x)<0\Rightarrow f(x)\searrow\forall_{x\in(-\infty,-1)}\\" alt="\\f(x)=xe^x\\ f'(x)=e^x+xe^x\\ f'(x)=e^x(x+1)\\ e^x(x+1)=0\\ x=-1\\ \forall_{x\in(-1,\infty)}f'(x)>0\Rightarrow f(x)\nearrow\forall_{x\in(-1,\infty)}\\ \forall_{x\in(-\infty,-1)}f'(x)<0\Rightarrow f(x)\searrow\forall_{x\in(-\infty,-1)}\\" align="absmiddle" class="latex-formula">