Докажите,что число 2^2013 - 1 - составное.

Рассмотрим число $2^{2013}$ :
нам нужно определить, на какую цифру заканчивается это число.
выпишем последние цифры степеней двойки: $2^{1}$ =1, $2^{2}$ =4, $2^{3}$ =8, $2^{4}$ =16 (берем последнюю цифру и умножаем на 2), $2^{5}$ = 6*2=12 и т.д Они будут чередоваться в такой последовательности: 2, 4, 8, 6...
Последняя цифра степени зависит от того, с каким остатком показатель степени делится на 4. (например, 1, 5, 2013) ⇒
⇒последняя цифра числа $2^{2013}$ =3

возьмем число $2^{2013}$ -1:
оно будет заканчиваться на 2 (3-1) ⇒
⇒ это число составное, т.к. будет делиться не только на само себя и 1, но и на 2 (по признаку делимости на 2)