Дкажите что для полажительных чисел a и b a/b+b/a>2

Question

Дкажите что для полажительных чисел a и b
a/b+b/a>2

Answer 1

Дано: а>0, b>0, a≠b
Доказать: a/b + b/a >2
Доказательство:
a/b + b/a >2
a/b + b/a - 2 >0
(Общий знаменатель равен ab)
(a² + b² - 2ab)/(ab) >0
(a-b)²/(ab) > 0
a>0, b>0 => ab>0
a≠b, a>0, b>0 => (a-b)²>0
Частное двух положительных чисел является положительным числом,
следовательно, (a-b)²/(ab) > 0
Т.к.  неравенство (a-b)²/(ab) >0 было получено из исходного в результате тождественных преобразований, то верно и исходное неравенство.
Таким образом, получаем: a/b + b/a >2
Что и требовалось доказать

Comments

В таком случае, это необходимо было обязательно указать в первоначальном неравенстве.

---

Если знак неравенства "больше или равно", то решение будет несколько иным.

---

Во-первых, их дано убираем условие a≠b (являющееся обязательным для случая строгого неравенства), во-вторых, при оценке неравенства поступаем так: a>0, b>0 => ab>0 и (a-b)²>=0 =>(a² + b² - 2ab)/(ab)>=0. Частное неотрицательного и положительного чисел является неотрицательным числом,
следовательно, (a-b)²/(ab) >= 0 . Последнюю фразу повторяем, меняя только знак на >=