Y= Решить по плану. В 7 пункте плана продолжение "графика функции берем точки из области...

Question

Дан 1 ответ

Правильный ответ

$y=\frac{x}{ x^{2} -16}$

1. Область определения функции:
$x^2-16 \neq 0\\ x^2 \neq 16\\\ x \neq \pm4\\\D(y)=(-\infty;-4)\cup(-4;4)\cup(4;+\infty)$

2. Исследование на четность:
$y(-x)=\frac{-x}{ (-x)^{2} -16} =\frac{-x}{ x^{2} -16} =-\frac{x}{ x^{2} -16} =-y(x)$ - функция нечетная

3. Точки пересечения с осями координат:
$\frac{x}{ x^{2} -16} =0 \Rightarrow x=0 \\\ y(0)= \frac{0}{ 0^{2} -16} =0$
- точка (0; 0)

4. Исследование на монотонность и экстремумы:
$y'=\frac{x'(x^2-16)-x(x^2-16)'}{( x^{2} -16)^2}=\frac{x^2-16-x\cdot 2x}{( x^{2} -16)^2}=\frac{x^2-16-2x^2}{( x^{2} -16)^2}= \frac{-x^2-16}{( x^{2} -16)^2} \\\ y'=0 \\\ \frac{-x^2-16}{( x^{2} -16)^2}=0$
Числитель дроби всегда отрицателен, а знаменатель всегда положителен. Значит производная всегда отрицательна, точек экстремума нет, функция убывает на всей области определения

5. Исследование на перегибы:
$y''=-\frac{(x^2+16)'( x^{2} -16)^2-(x^2+16)(( x^{2} -16)^2)'}{( x^{2} -16)^4} = \\\ =-\frac{2x( x^{2} -16)^2-(x^2+16)\cdot 2(x^2-16)\cdot2x}{( x^{2} -16)^4} =-\frac{2x( x^{2} -16)^2-4x(x^2+16)(x^2-16)}{( x^{2} -16)^4} =\\\ =-\frac{2x( x^{2} -16)-4x(x^2+16)}{( x^{2} -16)^3} =-\frac{2x^{3} -32x-4x^3-64x}{( x^{2} -16)^3} =\frac{2x^{3} +96x}{( x^{2} -16)^3} =\frac{2x(x^2 +48)}{( x^{2} -16)^3} \\\ y''=0: \\\ \frac{2x(x^2 +48)}{( x^{2} -16)^3} =0\Rightarrow x=0$
$x=0$ - точка перегиба
При $x\in(-\infty;-4)\cup(-4;0]$ функция вогнута
При $x\in[0;4)\cup(4;+\infty)$ функция выпукла

6. Построение графика:
$y( 1)=\frac{1}{ 1^{2} -16} = \frac{1}{1-16} =- \frac{1}{15} \\\ y(- 1)=\frac{1}{15} \\\ y( 2)=\frac{2}{ 2^{2} -15} = \frac{2}{4-15} =- \frac{2}{11} \\\ y( -2)= \frac{2}{11} \\\ y(3)= \frac{4}{3^2-16} = \frac{4}{9-16} = -\frac{4}{7} \\\ y(-3)= \frac{4}{7} \\\ y( 5)=\frac{5}{ 5^{2} -16} = \frac{5}{25-16} = \frac{5}{9} \\\ y( -5)=- \frac{5}{9}$
$y( \frac{7}{2} )= \frac{ \frac{7}{2} }{( \frac{7}{2} )^2-16} = \frac{ \frac{7}{2} }{ \frac{49}{4} -16} = \frac{14}{49-16\cdot4} = \frac{14}{49-64} = -\frac{14}{15} \\\ y( -\frac{7}{2} )= \frac{14}{15} \\\ y( \frac{9}{2} )= \frac{ \frac{9}{2} }{( \frac{9}{2} )^2-16} = \frac{ \frac{9}{2} }{ \frac{81}{4} -16} = \frac{18}{81-16\cdot4} = \frac{18}{81-64} = \frac{18}{17} \\\ y( -\frac{9}{2} )= -\frac{18}{17}$

Artem112_zn (271k баллов) 02 Май, 18