Александр Александрович был третьим сыном в семье «полудержавного властелина» Александра Даниловича Меншикова (1673—1729) и его супруги Дарьи Михайловны (ум. 1728). Воспитывался вместе с сёстрами Марией и Александрой. Получил прекрасное образование. А. Д. Меншиков писал супруге в 1718 году: «Зело от сердца радуюсь, что при помощи божии дети наши учатца»[1]. А. А. Меншиков изучал русский, латинский, французский и немецкий языки; Закон Божий, историю, географию, арифметику и фортификацию.
В 1726 году определён поручиком в Преображенский лейб-гвардии полк и назначен камергером к императрице Екатерине. Бурхард Кристоф Миних в своих записках писал:
Его единственный сын, в настоящее время премьер-майор гвардейского Преображенского полка. Ещё будучи в школе, был произведён в камергеры императрицы и пожалован орденом Св. Екатерины и прусского Чёрного Орла; таким образом, всё было сделано для упрочения положения молодого князя, и его заранее видели будущим обер-камергером императрицы и во главе гвардии, как только он достигнет совершеннолетия— Очерк, дающий представление об образе правления Российской империи[2]
Император Пётр II в первый же день своего правления удостоил 13-летнего А. А. Меншикова чина обер-камергера и пожаловал кавалером ордена Святого Андрея Первозванного. Однако в дальнейшем его служба при дворе была трудной.