2. а) u=ln sin(x−2y+z/4); M0(1;½π)
∂u/∂x = 1/sin(x−2y+z/4)*cos(x−2y+z/4)*1 = ctg(x−2y+z/4)
∂u/∂y = 1/sin(x−2y+z/4)*cos(x−2y+z/4)*(−2) = −2ctg(x−2y+z/4)
∂u/∂z = 1/sin(x−2y+z/4)*cos(x−2y+z/4)*(¼) = ¼ctg(x−2y+z/4)
в т. M0 ctg(x−2y+z/4)=ctg(1−2*½+π/4)=ctg(π4)=1
∂u/∂x = 1; ∂u/∂y = −2; ∂u/∂z = ¼.
---------------------------------------------------------------
3. S: F(x,y,z)≡x²+y²−z²+xz+4y=4; M0(1;1;2)
а) уравнение касательной:
(x−x0)∂F/∂x + (y−y0)∂F/∂y + (z−z0)∂F/∂z = 0
(все частные производные берутся в т. M0)
∂F/∂x = 2x = 2*1 =2;
∂F/∂y = 2y+4 = 2*1+4 = 6;
∂F/∂z = −2z+x = −2*2+1 = −3.
Искомое уравнение касательной: 2(x−1)+6(y−1)−3(z−4)=0, или
2x+6y−3z+4=0
б) Нормальная прямая:
(x−x0)/(∂F/∂x) = (y−y0)/(∂F/∂x) = (x−z0)/(∂F/∂z),
где все частные производные берутся в т. M0
Подставляем наши значения и получаем уравнение нормальной прямой:
(x−1)/2 = (y−1)/6 = (z−2)/(−3)
------------------------------------------------------------------------------
4. z=cos(3x²−y³)
∂z/∂x = −sin(3x²−y³)*6x = −6x sin(3x²−y³)
∂z/∂y = −sin(3x²−y³)*(−3y²) =3y²sin(3x²−y³)
z''xx = ∂/∂x(∂z/∂x) = ∂/∂x(−6x sin(3x²−y³)) = −6sin(3x²−y³) −6x*cos(3x²−y³)*6x;
z''xx = −36x²cos(3x²−y³)−6sin(3x²−y³)
z''xy = ∂∂y(∂z/∂x) = ∂∂y(−6x sin(3x²−y³)) = −6x*cos(3x²−y³)*(−3y²);
z''xy=18xy²cos(3x²−y³)
z''yx = ∂/∂x(∂z/∂y) = ∂/∂x(3y²sin(3x²−y³)) = 3y²cos(3x²−y³)*6x;
z''yx = 18xy²cos(3x²−y³)
(как видим, z''xy = z''yx)
z''yy = ∂/∂y(∂z/∂y) = ∂/∂y(3y²sin(3x²−y³)) = 6ysin(3x²−y³) + 3y²cos(3x²−y³)*(−3y²);
z''yy = 6ysin(3x²−y²) − 9y^4cos(3x²−y³)
---------------------------------------------------------------
5. z=x²+3(y+2)²
1 способ (классический)
Поскольку z представляет из себя сумму квадратов, то минимум z достигается, когда x=y+2=0, т. е. в точке (0;−2); значение z равно 0
Поскольку x и (y+2) не ограничены сверху, то максимума функция не имеет.
2 способ (с использованием частных производных)
а) ищем стационарные точки (в которых частные производные z по x и y равны 0)
∂z/∂x = 2x; ∂z/∂y = 6(y+2)
{2x=0;
{6(y+2)=0
Единственная стационарная точка — (0;−2).
б) Исследуем её характер. Найдём вторые производные в этой точке:
z''xx = 2; 2z''xy=2z''yx=0; z''yy = 6
Поскольку z''xx*z''yy−(z''xy/2)²=12>0, то имеем точку локального (и глобального тоже, поскольку других экстремумов у функции нет) минимума.
ОТВЕТ: (0;−2) — точка локального и глобального минимума (z=0); других экстремумов нет.