1.Решите в натуральных числах уравнение k+n+1 = НОК (k, n) - 4*НОД (k, n) 2.По стадиону...

Question

1.Решите в натуральных числах уравнение k+n+1 = НОК (k, n) - 4*НОД (k, n)
2.По стадиону бегут 3 спортсмена A, B и C, стартовав одновременно из одного места. Спортсмен А каждый круг пробегает на 2 секунды быстрее В, а В - на 3 секунды быстере С. Когда А финишировал, В осталось пробежать 1 круг, а С - 2 круга. Сколько кругов составляла дистанция?

Answer 1

1) НОК(k,n) и НОД(k,n) оба делятся на НОД, и k+n тоже делится на НОД. Но тогда k+n+1 не может делиться на НОД. А если делится, то ясно, что НОД=1. Тогда НОК=k*n
k+n+1=k*n-4
k*n=k+n+5
k*(n-1)=n+5
k=(n+5)/(n-1)
При n=2 будет k=7.
При n=3 будет k=4.
Ответ: (2,7); (3,4); (4,3); (7,2)
2) А пробегает круг за х сек,
В за (х+2) сек, С за (х+5) сек.
Дистанция составляет n кругов.
А пробежал дистанцию за x*n сек, В за это же время пробежал n-1 круг
xn=(x+2)(n-1)
С пробежал за это же время n-2 круга
xn=(x+5)(n-2)
Раскрываем скобки
xn=xn+2n-x-2
xn=xn+5n-2x-10
Упрощаем
x=2(n-1)
2x=5(n-2)
Очевидно, что х делится на 2 и на 5
При этом n-1 делится на 5, а n-2 на 2
Единственное решение: x=10, n=6
Ответ: 6 кругов