1. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у=х^2 и у =2х 2.Найдите объем тела,...

Дано
y1=x², y2 = 2x.
Сначала находим пределы интегрирования решением системы уравнений.
x² - 2x = 0 = х*(х-2)
Корни - х1 = 0 и х2 = 2.
Прямая у=2х - выше параболы, поэтому площадь вычисляется по формуле
$S= \int\limits^2_0 {(2x-x^2} \, dx=x^2- \frac{x^3}{3}= \frac{4}{3}~1.333$
ОТВЕТ S=4/3.
2. Объем фигуры по формулам
Формулы для вычисления объема фигуры.
y₁=x² y₂²=x - пределы интегрирования от 0 до 1.
$V2= \int\limits^2_0 { \pi x^4} \, dx = \frac{ \pi }{5}=0.628, \\ V1= \int\limits^2_0 { \pi x} \, dx= \frac{ \pi }{2} =1.571$
В результате объем равен разности
V=V1-V2 =3/10*π ~0.94 - ОТВЕТ