У нас здесь функция двух переменных. Для нахождения частных производных нужно будет, условно говоря, фиксировать вторую переменную как константу и искать производную по первой переменной.
Рассмотрим первый случай - производную по х:
u(x) = e^(sin(x/y))
При дифференцировании перед нами будет производная сложной функции (напомню теорию: (u(v(x)))' = u'(v)*v'(x) )
( e^(sin(x/y)) )' = e^(sin(x/y)) * (sin(x/y))' - потому что производная экспоненты равна самой экспоненте. Теперь надо найти производную от второй скобки, действуем по тому же правилу:
(sin(x/y))' = cos(x/y) * (x/y)' - потому что производная синуса-косинус. Находим оставшуюся производную, теперь уже просто (помним, что y в данном случае это просто константа):
(x/y)' = 1/y
Собираем всю цепочку обратно:
( e^(sin(x/y)) )' = e^(sin(x/y)) * cos(x/y) * 1/y
Это мы нашли частную производную по х. Напомню, что строго говоря обозначать её нужно не штрихом, а как дельта u по дельта х!
Теперь рассматриваем второй случай - производную по y. Тот же ход мыслей:
( e^(sin(x/y)) )' = e^(sin(x/y)) * (sin(x/y))' - здесь всё в силе
(sin(x/y))' = cos(x/y) * (x/y)' - здесь тоже
(x/y)' = - х/(y^2) - и вот только тут отличие, потому что эта дробь дифференцируется по y. Теперь собираем полный ответ:
( e^(sin(x/y)) )' = e^(sin(x/y)) * cos(x/y) * (- х/(y^2))