Мэр - это глава администрации, глава исполнительной власти населенного пункта (города, в данном случае)
Можно рассмотреть полномочия мэра, скажем, Москвы:
1) представляет город в отношениях с федеральными органами государственной власти, органами государственной власти других субъектов Российской Федерации, органами местного самоуправления или поручает представление города иным лицам, представляет город на официальных протокольных мероприятиях, выполняет другие представительские функции;
2) выступает от имени города в рамках компетенции, установленной Уставом города , в случаях и в порядке, установленных федеральным законодательством, законами города поручает выступать от имени города органам исполнительной власти города, должностным лицам, органам местного самоуправления, а также юридическим лицам и гражданам;
3) подписывает и обнародует принятые городской думой законы города либо отклоняет их.
4) формирует правительство и принимает решение о его отставке; определяет структуру исполнительных органов власти города.
Это некоторые полномочия мэра города.