Окно имеет форму прямоугольника, завершённого полукругом. Периметр окна равен Р.Каковы...

Question

Окно имеет форму прямоугольника, завершённого полукругом. Периметр окна равен Р.Каковы должны быть размеры окна, чтобы оно пропускало наибольшее количество света?

Answer 1

 При заданном периметре следует найти наибольшую площадь проема окна. 

Прямоугольник с наибольшей площадью при заданном периметре - квадрат.Следовательно, окно должно иметь проем в виде квадрата с добавлением полукруга. 

Радиус этого полукруга r,
сторона аквадрата =D=2r.
Периметр оконного проема равен сумме трех сторон квадрата плюс длина полуокружности ( полукруга, венчающего оконный проем).
Р=πr+6r=r(π+6)=≈ 9,14r
Таким образом, размеры окна:
r= ≈P:9,14
сторона квадрата a=2r
a= ≈Р:4,57

Answer 2

Обозначим стороны прямоугольника за х и у.

Радиус полукруга R = x/2

Периметр окна

Р = 2y+x+пи*R = 2y+x+пи*х/2 =2y+x(1+пи/2)

Выразим y

 y = P/2-x(1/2+пи/4)

Площадь окна

S = x*y + пиR^2/2 =x*y+пи*(x/2)^2/2 = x*y+пи*x^2/8

Подставим y

S = x*(P/2-x(1/2+пи/4)) +пи*x^2/8 = (P/2)*x -x^2(1/2+пи/4-пи/8) =(P/2)*x-x^2(1/2 +пи/8)

Находим максимум этой функции по х

Производная

S' = P/2-x(1+пи/4)

приравниваем к нулю

   P/2-x(1+пи/4) = 0

   x(1+пи/4) = P/2

   x = P/(2+пи/2) =2P/(4+пи)

   у =  P/2-x(1/2+пи/4) =P/2- 2P(1/2+пи/4)/(4+пи) =P/2 -P(1+пи/2)/(4+пи) =

=P(4+пи-2-пи)/(2*(4+пи)) = P/(4+пи)