Обозначим ![A=\sqrt[3]{8-3\sqrt{21}}+\sqrt[3]{8+3\sqrt{21}}](https://tex.z-dn.net/?f=A%3D%5Csqrt%5B3%5D%7B8-3%5Csqrt%7B21%7D%7D%2B%5Csqrt%5B3%5D%7B8%2B3%5Csqrt%7B21%7D%7D "A=\sqrt[3]{8-3\sqrt{21}}+\sqrt[3]{8+3\sqrt{21}}")
, заметим, что число А - дейсвительное число
тогда по формуле куба суммы двучлена 
свойству корня ![(\sqrt[n] A)^n=A; A \geq 0](https://tex.z-dn.net/?f=%28%5Csqrt%5Bn%5D+A%29%5En%3DA%3B+A+%5Cgeq+0 "(\sqrt[n] A)^n=A; A \geq 0")
![A^3=(\sqrt[3]{8-3\sqrt{21}}+\sqrt[3]{8+3\sqrt{21}})^3=8-3\ssqrt{21}+8+3\sqrt{21}+3*(\sqrt[3]{8-3\sqrt{21}}\sqrt[3]{8+3\sqrt{21}}(\sqrt[3]{8-3\sqrt{21}}+\sqrt[3]{8+3\sqrt{21}}))=16+3*\sqrt[3]{(8-3\sqrt{21})(8+3\sqrt{21})}*A=16+3*\sqrt[3]{8^2-(3*\sqrt{21})^2}*A=16+3*\sqrt[3]{64-189}*A=16+3*\sqrt[3]{-125}*A=16-15A](https://tex.z-dn.net/?f=A%5E3%3D%28%5Csqrt%5B3%5D%7B8-3%5Csqrt%7B21%7D%7D%2B%5Csqrt%5B3%5D%7B8%2B3%5Csqrt%7B21%7D%7D%29%5E3%3D8-3%5Cssqrt%7B21%7D%2B8%2B3%5Csqrt%7B21%7D%2B3%2A%28%5Csqrt%5B3%5D%7B8-3%5Csqrt%7B21%7D%7D%5Csqrt%5B3%5D%7B8%2B3%5Csqrt%7B21%7D%7D%28%5Csqrt%5B3%5D%7B8-3%5Csqrt%7B21%7D%7D%2B%5Csqrt%5B3%5D%7B8%2B3%5Csqrt%7B21%7D%7D%29%29%3D16%2B3%2A%5Csqrt%5B3%5D%7B%288-3%5Csqrt%7B21%7D%29%288%2B3%5Csqrt%7B21%7D%29%7D%2AA%3D16%2B3%2A%5Csqrt%5B3%5D%7B8%5E2-%283%2A%5Csqrt%7B21%7D%29%5E2%7D%2AA%3D16%2B3%2A%5Csqrt%5B3%5D%7B64-189%7D%2AA%3D16%2B3%2A%5Csqrt%5B3%5D%7B-125%7D%2AA%3D16-15A "A^3=(\sqrt[3]{8-3\sqrt{21}}+\sqrt[3]{8+3\sqrt{21}})^3=8-3\ssqrt{21}+8+3\sqrt{21}+3*(\sqrt[3]{8-3\sqrt{21}}\sqrt[3]{8+3\sqrt{21}}(\sqrt[3]{8-3\sqrt{21}}+\sqrt[3]{8+3\sqrt{21}}))=16+3*\sqrt[3]{(8-3\sqrt{21})(8+3\sqrt{21})}*A=16+3*\sqrt[3]{8^2-(3*\sqrt{21})^2}*A=16+3*\sqrt[3]{64-189}*A=16+3*\sqrt[3]{-125}*A=16-15A")
отсюда справедливо
откуда либо 
, что невозможно, дискриминант отрицательный, уравнение не имеет действительных корней, а число А действительное
либо А=-1
ответ: -1