(Что?) - Беды России (подлежащее, выраженное составным существительным)
Беды (какие?) - Не чужие (определение выраженное прилагательным с частицой "Не")
Беды России (для кого?) - Для нас (дополнение, выраженное составным местоименнием)
Тут грамматическая основа это "Беды России" - односоставная..