Даже мой учитель математики не решил такое, а вы, вы сможете? ) Доказать что: а) Число...

Question

Даже мой учитель математики не решил такое, а вы, вы сможете? )
Доказать что:
а) Число 6^12 - 1 делится на 37
б) Число 3^17 - 3 делится на 240
в) Число 10^24 - 298 делится на 99

Comments

странно, они все очень легкие

---

а) разность кубов делится на 6^4-1, что. как разность квадратов, делится на 6^2+1=37. б) 3 выносим за скобки, и как разность квадратов делится на 3^8-1, что делится на 3^4-1=80. Т.е. делится на 3 и на 80, а значит и на 240. в) остаток от деления чисел 10 и 298 на 9 равен 1, Значит разность любой степени десятки и 298 делится на 9. Аналогично, остаток от деления числа 10^24 на 11 степени равен (-1)^24=1 и 298 тоже имеет остаток 1. Значит их разность делится и на 11. Т.е. делится на 99.

---

Пункт в) можно было и без свойств остатков, просто представить 298 как 99*3+1, и тогда достаточно доказать, что 10^24-1 делится на 99, а это так по разности кубов и квадратов, т.к. оно делится на 10^2-1=99.

---

Браво!

Answer 1

А) По разности кубов 6^12 - 1=(6^4)^3 - 1=(6^4-1)(6^8+6^4+1), но  6^4-1=(6^2+1)(6^2-1)=37*35.
б) 3^17 - 3=3(3^16-1)=3(3^8-1)(3^8+1)=3(3^4-1)(3^4+1)(3^8+1),
но 3(3^4-1)=240.
в) 298=99*3+1 значит
10^24-298=(99+1)^12-298=(99k+1)-(99*3+1)=99(k-3).