В далёкие времена (когда появился фразеологизм) русские носили одежду с очень длинными рукавами: у мужчин они достигали 95 см, а у женщин были ещё длиннее - 130-140 см. Работать в одежде с такими рукавами неудобно, получится плохо. Чтобы дело спорилось, рукава надо было засучить, т. е. подвернуть. Отсюда и пошло выражение "засучив рукава", которое обозначает "работать энергично, усердно, старательно".