1) При каких значениях параметра уравнение имеет решения? 2) При каких значениях... - Все ответы

Дан 1 ответ

Правильный ответ

1)

$\frac{a}{a-sin^22x}=3$

$a=3(a-sin^22x)$

$sin^22x=2a$

$sin2x=\sqrt{2a}$

Так как значения синуса не могут быть большими единицы, получаем:

$-1<\sqrt{2a}<1$

Так как выражение под радикалом и собственно весь радикал не могут быть отрицательными получаем:

$0<\sqrt{2a}<1$

Откуда получаем:

0" alt="2a>0" align="absmiddle" class="latex-formula">

0" alt="a>0" align="absmiddle" class="latex-formula">

$2a<1$

$a<\frac{1}{2}$

Объединяя полученные результаты получаем: a∈ $(0;\frac{1}{2})$

Ответ: a∈ $(0;\frac{1}{2})$

2)

$sinx-cos2x=a^2+2$

$sinx-(1-2sin^2x)=a^2+2$

$2sin^2x-sinx-1-a^2-2=0$

$sinx=t$

Получаем квадратное уравнение относительно t:

$2t^2-t-1-a^2-2=0$

$D=1+4*2*(1+a^2-2)=1+8(a^2-1)=8a^2-7$

$t=\frac{1+\sqrt{8a^2-7}}{2}$

$t=\frac{1-\sqrt{8a^2-7}}{2}$

Исходя из того что данное уравнение должно иметь лишь одно решение получаем, что дискриминант должен быть равен нулю:

$8a^2-7=0$

$a^2=\frac{7}{8}$

$a=\sqrt{\frac{7}{8}}$

$a=-\sqrt{\frac{7}{8}}$

Но так как нам нужно только одно решение в заданном промежутке получаем:

$sinx=\frac{1+\sqrt{8a^2-7}}{2}$

$x=arcsin(\frac{1+\sqrt{8a^2-7}}{2})+2\pi n$

$4\pi<arcsin(\frac{1+\sqrt{8a^2-7}}{2})<6\pi$

0" alt="1+\sqrt{8a^2-7}>0" align="absmiddle" class="latex-formula">

неравенство не имеет решений

$sinx=\frac{1-\sqrt{8a^2-7}}{2}$

$x=arcsin(\frac{1-\sqrt{8a^2-7}}{2})+2\pi n$

$4\pi<arcsin(\frac{1-\sqrt{8a^2-7}}{2})<6\pi$

0" alt="1-\sqrt{8a^2-7}>0" align="absmiddle" class="latex-formula">

$8a^2-7<1$

$a^2<1$

$(a-1)(a+1)<0$

Получаем, что при a∈ $(-1;1)$ данное уравнение имеет лишь один корень

Ответ: a∈ $(-1;1)$

PhysM_zn (9.1k баллов) 11 Март, 18