Преобразуем, перенеся 10 вправо:
|x-1|+|x-2|+...+|x-9|+|x-10|= x-10.
Левая часть уравнения представляет собой сумму модулей, а значит - неотрицательное число (модуль всегда больше или равен нуля), значит, и правая часть уравнения так же - неотрицательная. А значит, последний модуль в левой части открывается со знаком +. Имеем:
|x-1|+|x-2|+...+|x-9|+x-10= x-10.
Видно, что х-10 справа и слева взаимно уничтожаются, остается уравнение:
|x-1|+|x-2|+...+|x-9|= 0
Теперь получаем сумму модулей, которая должна быть равна нулю. Из того же свойства модуля (модуль всегда больше или равен нуля) делаем вывод, что каждый из модулей в левой части должен быть равен нулю одновременно. То есть, х-1=0, х-2=0, .. , х-9=0 одновременно, или х=1, х=2, ..., х=9 одновременно. Чего не может быть. Значит, решений исходное уравнение не имеет.
Ответ: нет решений.