F(x) = x³ – 2x² + x . Решить по этому плану .

Question

Дан 1 ответ

Правильный ответ

$f(x)= x^3 -2x^2 + x$

1. Область определения функции - все действительные числа: $x\in R$

2. Исследование функции на четность:
$f(-x)=(-x)^3 -2(-x)^2 + (-x)=-x^3 -2x^2 -x$
Функция ни четная, ни нечетная (общего вида)

3. Точки пересечения с осями координат:
$x^3 -2x^2 + x=0 \\\ x(x^2 -2x + 1)=0 \\\ x(x -1)^2=0 \\\ \left[\begin{array}{l} x=0 \\ x-1=0 \end{array} \Rightarrow \left[\begin{array}{l} x=0 \\ x=1 \end{array}$
Точки пересечения с осью х: (0; 0); (1; 0)
$f(0)=0^3-2\cdot0^2+0=0$
Точка пересечения с осью y: (0; 0)

4. Исследование функции на монотонность и экстремумы:
$f'(x)= 3x^2 -4x + 1 \\\ f'(x)=0: \\\ 3x^2 -4x + 1=0 \\\ D_1=(-2)^2-3\cdot1=4-3=1 \\\ x= \frac{2+1}{3}=1 \\\ x= \frac{2-1}{3}= \frac{1}{3}$
Точка максимума: $x_{\max}= \frac{1}{3}$ ; максимум: $y_{\max}=( \frac{1}{3} )^3-2\cdot( \frac{1}{3} )^2+ \frac{1}{3} = \frac{1}{27}- \frac{2}{9}+ \frac{1}{3} = \frac{1}{27}- \frac{6}{27}+ \frac{9}{27} = \frac{4}{27}$
Точка минимума: $x_{\min}= 1$ ; минимум: $y_{\min}=1^3-2\cdot1^2+1=1-2+1=0$
При $x\in (\infty; \frac{1}{3} ]\cup[1;+\infty)$ функция возрастает
При $x\in[ \frac{1}{3} ;1]$ функция убывает

5. Исследование функции на выпуклость/вогнутость:
$f''(x)= 6x -4 \\\ f''(x)=0: \\\ 6x-4=0 \\\ 6x=4 \\\ x= \frac{2}{3}$
Точка перегиба: $x= \frac{2}{3}$
Ордината точки перегиба: $y=( \frac{2}{3} )^3-2\cdot ( \frac{2}{3} )^2+ \frac{2}{3} = \frac{8}{27} - \frac{8}{9} + \frac{2}{3} = \frac{8}{27} - \frac{24}{27} + \frac{18}{27} = \frac{2}{27}$
При $x\in(-\infty; \frac{2}{3} ]$ функция вогнута
При $x\in[ \frac{2}{3} ;+\infty)$ функция выпукла

6. Построение графика:
Имеющиеся точки: (0; 0); (1; 0); (1/3; 4/27); (2/3; 2/27)
Просчитаем еще пару точек для определения крутизны графика:
$f(-1)=(-1)^3-2\cdot(-1)^2+(-1)=-1-2-1=-4 \\\ f(-2)=(-2)^3-2\cdot(-2)^2+(-2)=-8-8-2=-18 \\\ f(2)=2^3-2\cdot2^2+2=8-8+2=2 \\\ f(3)=3^3-2\cdot3^2+3=27-18+3=12$

Artem112_zn (271k баллов) 30 Апр, 18