Определить, является ли ряд абсолютно сходящимся, условно сходящимся или расходящимся.

$\sum \limits _{n+1}^{\infty }\frac{(-1)^{n-1}\cdot (n+1)}{3^{n}}$

Составим ряд из абсолютных величин (модулей):

$\sum \limits _{n=1}^{\infty }\left |\frac{(-1)^{n-1}\cdot (n+1)}{3^{n}}\right |=\sum\limits _{n=1}^{\infty }\frac{n+1}{3^{n}}\\\\D=\lim\limits _{n\to \infty }\frac{|a_{n+1}|}{|a_{n}|}=\lim\limits _{n\to \infty }\frac{n+2}{3^{n+1}}\cdot \frac{3^{n}}{n+1}=\frac{1}{3}\ \textless \ 1\; \Rightarrow \; \; sxoditsya\; \Rightarrow$

Исходный знакочередующийся ряд сходится абсолютно.