По теореме Пифагора
АВ²₁= АВ²+АА₁²=2²+1²=5
АВ₁=√5.
ВС₁²=ВС²+СС₁²=1²+1²=2.
ВС₁=В₁С=√2.
ВВ₁С₁С - квадрат , диагонали квадрата взаимно перпендикулярны, то В₁Н ⊥ ВС₁, где Н- точка пересечения диагоналей
ВН₁=√2/2
Так как АВ⊥(пл. ВВ₁С₁С), то АВ⊥В₁Н.
В₁Н ⊥ ВС и В₁Н ⊥ АВ ⇒В₁Н ⊥ пл. АС₁С по признаку перпендикулярности прямой и плоскости.
Угол между прямой АВ₁ и плоскостью АС₁С - угол между прямой АВ₁ и ее проекцией на плоскостью АС₁С.
Проекцией АВ₁ на плоскость АС₁С служит АН.
Из прямоугольного треугольника АВ₁Н
sin ∠В₁АН=В₁Н/АВ₁=(√2/2)/√5=1/√(10)
∠В₁АН=arcsin1/√(10).
О т в е т.∠В₁АН=arcsin1/√(10).