Как решить дискриминантное уравнение. Алгебра 8-10 класс в гугле не могу найти...

Вообще-то, это дифференциальное уравнение, а точнее, линейное дифференциальное уравнение первого порядка. И никак не может относится к темам АЛГЕБРА 8-10 класс.

Преобразуем $y'+\frac{1}{x-1}y=\frac{x-3}{2x-2}$

Делаем замену y=uv => y'=u'v+v'u.

Подставим в уравнение

$u'v+v'u+\frac{1}{x-1}uv=\frac{x-3}{2x-2}$

$u'v+u(v'+\frac{1}{x-1}v)=\frac{x-3}{2x-2}$

Получим систему уравнений:

$\left \{ {{v'+\frac{1}{x-1}v=0} \atop {u'v=\frac{x-3}{2x-2}}} \right.$

Решаем первое:

$\frac{dv}{dx}=\frac{v}{1-x} \\\ \int{\frac{dv}{v}}\,=\int{\frac{dx}{1-x}}\, \\\ ln\ |v| = -ln|x-1| \\\ v=\frac{1}{x-1}$

Решаем второе:

$u'v=\frac{x-3}{2x-2} \\\ \frac{u'}{x-1}=\frac{x-3}{2(x-1)} \\\ u'=\frac{x-3}{2} \\\ \frac{du}{dx}=\frac{x-3}{2} \\\ du=\frac{x-3}{2}dx \\\ \int{du}\,=\int{\frac{x-3}{2}}\, dx \\\ u=\frac{1}{4}x^2-\frac{3}{2}x+C$

Общее решение имеет вид:

$y=(\frac{1}{4}x^2-\frac{3}{2}x+C)*\frac{1}{x-1}$