255. К сожалению, без иллюстраций, буду объяснять на словах. Сначала советую сделать общий чертёж и обозначить: основание - как треугольник ABC, верхнюю вершину - как D. Если я верно понимаю условие, то тогда стороны АВ=ВС=АС=8 и углы ADB=BDC=ADC=фи
Теперь учтём, что в правильной пирамиде высота будет падать на основание в точку, являющуюся для этого основания точкой пересечения медиан/высот(потому что равносторонний треугольник).
Сделаем отдельный чертёж основаиния АВС, проведём высоту/медиану например ВН. И на ней обозначим искомую точку пересечений О так, чтобы ВО=2ОН (есть такое свойство, что в треугольнике медианы точкой пересечения деляются в соотношении 2:1, считая от основания). Зная, что АВ=8, а АН=4(потому что Н - середина АС), найдём ВН. Можно искать по теореме Пифагора, можно исходя из косинусов(углы в треугольнике 60 и 30):
ВН^2 = AB^2 - AH^2 = 8^2 - 4^2 = 64 - 16 = 48
BH = корень из 48=4*(корень из 3)
Теперь, помня про деление в соотношении 2:1, найдём ВО:
ВО = (2/3) * (4*(корень из 3)) = (8 * (корень из 3)) / 3
Теперь нарисуем боковую сторону, например ADB. Про неё мы знаем, что АВ=8 и угол ADB=фи. Обозначим боковые стороны (они равны) как x. Пользуясь теоремой косинусов, попробуем выразить АВ в этом треугольнике:
AB^2 = AD^2 + DB^2 - 2*AD*DB*cos(ADB) = x^2 + x^2 - 2*x^2*cos(фи) = 2*x^2 - 2*x^2*cos(фи) = 2*x^2*(1-cos(фи))
Вспомним, что АВ=8, и попробуем выразить отсюда x:
8*8 = 2*x^2*(1-cos(фи))
x^2 = 64 / (2*(1-cos(фи))) = 32 / (1-cos(фи))
Корень брать и искать х не будем, потому что дальше пригодится именно в квадрате.
Теперь нарисуем треугольник BHD - он как бы рассекает пирамиду на две равные части. Искомая в задаче высота DO также лежит в нём и является его высотой. Рассмотрим прямоугольный треугольник BOD. Мы знаем гипотенузу BD (она же x), мы знаем катет BO, отсюда теоремой Пифагора находим DO:
DO^2 = x^2 - BO^2 = 32 / (1-cos(фи)) - ((8 * (корень из 3)) / 3)^2 = 32 / (1-cos(фи)) - 64*3/9 =
32 / (1-cos(фи)) - 64/3 = (32*3 - 64*(1-cos(фи))) / (3*(1-cos(фи))) = (96 - 64+64cos(фи)) / (3*(1-cos(фи))) = (32+64cos(фи)) / (3*(1-cos(фи))) = 32*(1+2cos(фи)) / (3*(1-cos(фи)))
258. Сделаем общий чёртёж, но тут ещё проще, даже не будем обозначать ничего, просто проведём диагональ основания-квадрата. Теперь нарисуем отдельно треугольник, образованный этой диагональю и двумя уходящими вверх рёбрами. Эти рёбра по условию равны 12, углы при диагонали по условию равны 60, а значит и верхний угол тоже 60 - треугольник равносторонний. Значит, диагональ основания тоже равна 12.
Теперь легко найти площадь основания. Диагональ квадрата всегда больше стороны в корень из 2 раз, значит сторона равна 12/(корень из 2), а площадь равна стороне в квадрате: 12*12/2 = 72
Площадь основания есть. Теперь надо найти площади четырёх боковых треугольников.
Нарисуем один такой боковой треугольник, опустим высоту на нижнюю сторону. Боковые стороны по 12, нижняя 12/(корень из 2), половина нижней 6/(корень из 2). Найдём по Пифагору эту высоту:
h^2 = 12^2 - (6/(корень из 2))^2 = 144 - 18 = 126
h = корень из (126) = 3 корня из (14)
Площадь такого бокового треугольника: 1/2 * 12/(корень из 2) * 3корняиз(14) = 36 / (корень из 28) = 36 / 2корняиз(7) = 18 / (корень из 7)
Общая площадь поверхности пирамиды будет равна сумме площади квадрата и четырёх площадей треугольника:
S = 72 + 4*18 / (корень из 7) = 72 (1 + 1/(корень из 7))
И в этой, и в той задаче числа получились какие-то некрасивые, но возможно так и должно быть. В любом случае, даже если ошибся в счёте, общий ход решения вроде такой