Что больше 2011 степени 2011 + 2009 степень 2009 или 2011 в степени 2009 + 2009 степени...

$2011^{2011} + 2009^{2009}$ или $2011^{2009} + 2009^{2011}$

Чтобы сравнить два выражения, найдем их разность. Если разность будет положительна, значит первое больше второго, если разность отрицательна, значит первое меньше второго.

$(2011^{2011} + 2009^{2009} )-(2011^{2009} + 2009^{2011})= \\ =(2011^{2011} -2011^{2009} )+( 2009^{2009}- 2009^{2011})= \\ = 2011^{2009}*(2011^{2} -1 )+2009^{2009}*( 1- 2009^{2})= \\ = 2011^{2009}*(2011 -1 )*(2011 +1 )+ \\ +2009^{2009}*( 1-2009)*( 1+2009)= \\ = 2011^{2009}*2010*2012+2009^{2009}*( -2008)*2010= \\ =2010(2011^{2009}*2012 - 2009^{2009}*2008)= \\ =2010(2011^{2009}*(2011+1) - 2009^{2009}*(2009-1))= \\ =2010(2011^{2010}+2011^{2009} - 2009^{2010}+2009^{2009}) \\$

В скобке видим три положительных слагаемых, одно отрицательное, причём $2011^{2010} \ \textgreater \ 2009^{2010}$ ,
поэтому сумма в скобке положительна. Значит первое выражение больше второго.