Есть пирамида АВСД, где АВС - основание, О - центр вписанной окружности в основание, ДК - апофема.
Рассмотрим прямоугольный треугольник ДКО. В нем ДО - высота пирамиды, ДК - апофема, ОК - радиус, угол ОДК = 60. Значит угол ДКО=180-ОДК-ДОК=180-60-90=30. Значит ДО - катет, лежащий против угла в 30 градусов, значит ДК=2*ДО. Примем ДО за х. Тогда
ДО^2+OK^2=ДК^2. х^2+(5√3)^2=(2*х)^2. Отсюда х=ДО=5; ДК=2*5=10.
Рассмотрим треугольник АВС: r=ОК=√3*АВ/6. Отсюда АВ=6*r/√3=6*5* √3 / √3 =30.
Рассмотрим треугольник АВД: S(АВД)=ДК*АВ/2=10*30/2=150
Площадь боковой поверхности = 3*S(АВД) = 3*150=450