Don't stop to believe: to believe- инфинитив (глагол в неопределенной форме спряжения), и переводится дословно: не прекращай верить!
Don't stop believing: believing- отглагольное существительное- имя действия. Дословно бы переводилось: не прекращай верение. Но, поскольку такой части речи (и слова) в русском языке нет, переводят так же, как и вариант с инфинитивом.
Не путать с герундием believing- веря, верящий, употребляемым как причастие и для образования времен Continuous Tense.
После want следует употреблять инфинитив.
Глагол to have может быть смысловым , либо вспомогательным.
Как смысловой "иметь" он ничем не отличается, по употреблению, от любого другого глагола.
Как вспомогательный, используется для образования времен Perfect Tense. При этом он спрягается, а за ним следует 3-я форма спряжения смыслового глагола. Perfect Tense означает уже совершенное, на подразумеваемый момент, действие.
Примеры:
I have done it- Я это сделал (на момент когда это говорится).
I had it done at yesterday noon- Ко вчерашнему полудню, это уже было мной сделано.
I will have it done at tomorrow noon- К завтрашнему полудню, я это сделаю.
Кроме того, существует конструкция to have to, являющаяся синонимом модального глагола must.
I have to go- Я должен идти.