Цитата: "Правильная треугольная пирамида — это многогранник, у которого одна грань — основание пирамиды — правильный треугольник, а остальные — боковые грани — равные треугольники с общей вершиной. Высота опускается в центр основания из вершины. Только в правильном треугольнике совпадают точки пересечения медиан, биссектрис, высот, серединных перпендикуляров. Эта точка называется центром правильного треугольника. Центр правильного треугольника делит его высоты в отношении 2:1, считая от вершины."
Объем правильной треугольной пирамиды равен 1/3*Sосн*H, где Sосн - площадь правильного треугольника равная Sосн=(√3)а²/4 = (√3)16/4. = 4√3. H - высота пирамиды - перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды в центр основания.
Найдем высоту пирамиды.
Сначала найдем высоту основания по формуле h=(√3)a/2 = (√3)*4/2 = 2√3см.
Отрезок этой высоты от основания ребра до центра треугольника равна (2√3):3*2 =(4√3)/3см. Имеем прямоугольный треугольник, где гипотенуза - ребро пирамиды, один из катетов - высота пирамиды H, а другой катет - только чио найденный отрезок.
В этом тр-ке против угла 30 лежит катет, равный половине гипотенузы. Зная, что гипотенуза равна (8√3)/3, а катет равен (4√3)/3, по Пифагору находим второй катет (Н):
Н=√16 = 4см.
Искомый объем равен 1/3*Sосн*H = 1/3*(4√3)*4 =(16√3)/3 ≈ 9,24см³
