y(общ.реш) = y(о.о) + y(ч.н.)
Для нахождения y(о.о) правую часть приравняем к нулю:
y'' - 3y' = 0
составим характерестическое уравнение:
k^2 - 3k = 0 => k(k-3) = 0
корни этого уравнения:
k1,2 = 0;3
Откуда :
y(о.о) = c1*e^(o*t) + c2*e^(3t) = c1 + c2*e^(3t)
частное неоднородное y(ч.н.) ищем в виде
y(ч.н.) = x(A*x + B)
теперь осталось найти неизвестные коэффициенты A и B
для этого продифферинцируем y(ч.н.) дважды по х :
y(ч.н.) = x(A*x + B)
y'(ч.н.) = 2Ax + B
y''(ч.н.) = 2A
подставим в исходное ауравнение и приравняем к правой части:
2A - 3*(2Ax + B) + 0*(x(A*x + B) ) = 3x + 2
2A - 6Ax - 3B = 3x + 2
-6Ax + ( 2A - 3B) = 3x + 2
-6A = 3 => A = -1/2
2A - 3B = 2 => B = ( 2 - 2*(-1/2))/-3 = -1
итак :
y(ч.н.) = x( (-1/2)*x -1) = -(1/2)*x^2 - x
тогда общее решение этого уравнения:
y(общ.реш) = y(о.о) + y(ч.н.) = c1 + c2*e^(3t) -(1/2)*x^2 - x